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正文:

  

图一

  

图二

  随着新课改的实施,中考命题趋势逐步削弱了对传统数学问题的单纯考查,试题情境一般存在开放性、探索性、操作性(平移、旋转、翻折),许多问题是以发现、猜测和探究为主线的新式题型。下面我们谈谈近几年中考的热点问题——图形变换。

  图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四大变换,近年全国各地的中考数学试题出现了不少有关图形变换的试题。作为新增加的内容,图形与变换对于培养同学们空间观念、拓展几何的活动视野和研究途径,都具有其他内容无法替代的作用,因而,图形与变换在近年来的中考数学试题中占有较大的比重,近几年在天津市中考试卷中也出现了许多有关图形与变换的新题型,纵观三年天津卷可知:2008年有关图形变换的题目共占14分; 2009年共16分;2010年共占19分。由此可见,所含分值在逐年提高,不但如此,题目的灵活性和综合运用能力要求也在提高。天津卷连续三年在解答题第25题都考查了图形变换的相关内容,本文列举旋转变换和轴对称变换题型加以分析说明:

  旋转

  问题

  旋转问题要明确旋转的三要素:旋转中心(绕着哪个点)、旋转方向(顺时针、逆时针)、旋转角度。除此之外,还要始终把握旋转的性质:

  1.对应点到旋转中心的距离相等;2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;3.旋转前、后的图形全等(旋转前后两图形的对应线段、对应角分别相等)。旋转问题可归结为点的旋转、线段的旋转和图形(一般为三角形)的旋转。在旋转问题中往往将陌生问题转化为我们熟知的三角形问题去解决,即要去寻找或构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形等,将题目由繁化简。

  例1.(2010 天津)如图,已知正方形ABCD的边长为3,E为CD边上一点,DE=1。以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,得△ABE',连接EE',则EE'的长等于 。

  【答案】EE'=2■

  分析:此题是对学生勾股定理、等腰直角三角形和旋转的性质综合运用能力的考查。

  ∵旋转前后图形全等

  ∴由△ADE顺时针旋转90°后得△ABE'可知

  △ADE≌△ABE',即AE'=AE

  ∴△AE'E为等腰直角三角形

  ∴AE':AE:E'E=1:1:■,在Rt△ADE中,由勾股定理可知AE=■,故EE'=2■。

  例2.(2010 安徽蚌埠)如图1、2是两个相似比为1:■的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。

  ⑴在图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E、F,如图4。求证:AE2+BF2=EF2;

  ⑵若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

  ⑶如图6,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长?若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理由。


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